Joseph Fourier: el genial matemático que nos enseñó a descomponer el mundo en ondas

Pocas herramientas matemáticas han tenido un impacto tan profundo en la ingeniería moderna como la que lleva su nombre. Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) no era ingeniero de señales. Era un físico y matemático francés que, mientras estudiaba la difusión del calor, descubrió algo revolucionario: cualquier función periódica podía representarse como una suma de senos y cosenos.

Esa idea fue el germen de lo que hoy conocemos como Análisis de Fourier o Análisis Armónico y si me sigue, le cuento (sin mucha matemática aterrorizante) qué importancia tiene esto en los radares meteorológicos.

La Transformada de Fourier (FT)

La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). En 1822, en su Théorie analytique de la chaleur, Fourier afirmó que cualquier función, ya sea continua o discontinua, puede expandirse en una serie de senos. Ese importante trabajo fue corregido y ampliado por otros para sentar las bases de las diversas formas de la transformada de Fourier utilizadas desde entonces

Para una señal continua $x(t)$, la FT se define como:

$$X(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t)e^{-j2\pi ft}dt$$

Y su inversa:$$x(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f)e^{j2\pi ft}df$$

Lo que hace es proyectar la señal sobre una base de exponenciales complejas. El resultado $X(f)$ nos dice qué contenido de la señal hay en cada frecuencia. Es la herramienta teórica para señales analógicas.

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La Transformada Discreta de Fourier (DFT)

En el mundo digital no tenemos funciones continuas, sino secuencias de $N$ muestras $x[0],\dots ,x[N-1]$. La DFT se define entonces como:

$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn\mathrm{/}N},k=0,\dots ,N-1$$

Y su inversa:$$x[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi kn\mathrm{/}N}$$

La DFT muestrea la DTFT en $N$ puntos equiespaciados. La frecuencia física de cada bin es:

$$f_k=\frac{k{f}_s}{N}$$

con resolución frecuencial:$$\mathrm{\Delta }f=\frac{f_s}{N}$$

Es la herramienta práctica para cualquier señal digitalizada.

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La Transformada Rápida de Fourier (FFT)

La FFT no es una transformada distinta. Es un algoritmo para calcular la DFT de forma eficiente (más rápido). El algoritmo de Cooley-Tukey descompone una transformada discreta de Fourier grande en muchas transformadas DFT más pequeñas. Gracias a esta estrategia recursiva, reduce drásticamente la cantidad de cálculos necesarios, pasando de una complejidad de $O(N^2)$ para la DFT directa a $O(N \log N)$ para la FFT, lo que hace posible el procesamiento eficiente de señales, imágenes y datos de radar en tiempo real.

El algoritmo de Cooley-Tukey radix-2 divide la DFT de $N$ en dos de $N\mathrm{/}2$ (y lo hace recursivamente):

$$X[k]=E[k]+W_N^{k}O[k]$$$$X[k+N\mathrm{/}2]=E[k]-W_N^{k}O[k]$$

con:$$W_N^k=e^{-j2\pi k\mathrm{/}N}$$

donde $E[k]$ es la DFT de las muestras pares y $O[k]$ la de las impares. Requiere $N=2^m$.

Para $N=1024$:

DFT: $\sim {10}^6$ operaciones.

FFT: $\sim {10}^4$ operaciones.

Menos operaciones, más rapidez de cálculo.

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¿Cuándo se usa cada una?

Transformada	Dominio	Uso
FT	Continuo	Análisis teórico
DFT	Discreto	Cálculo digital, $N$ arbitrario
FFT	Discreto	Cálculo digital rápido, $N$ potencia de 2

La FT es el marco teórico para señales analógicas y origen de todo. La DFT es lo que se calcula cuando tenemos una secuencia de muestras discretas. La FFT es el algoritmo que lo hace rápido en tiempo real.

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¿Y esto para qué sirve en un radar meteorológico?

Un radar Doppler no mide velocidad directamente. Mide el desplazamiento de fase entre pulsos consecutivos. La velocidad radial se relaciona con la frecuencia Doppler por la siguiente expresión:

$$f_D=\frac{2v_r}{\lambda }$$​​

Para convertir eso en un espectro de velocidades, se aplica la FFT a las muestras de una misma celda de distancia a lo largo del slow-time (ángulo-tiempo, es decir de un período a otro de los pulsos transmitidos) . El resultado es el espectro Doppler:

$$S[k]=\mathrm{\mid }X[k]{\mathrm{\mid }}^2$$

Cada celda $k$ corresponde a una velocidad:$$v_k=\frac{\lambda f_k}{2}$$​​con:$$f_k=\frac{k\cdot PRF}{N}$$​

La resolución en velocidad es pues:$$\mathrm{\Delta }v=\frac{\lambda PRF}{2N}$$​

Y entonces la velocidad de Nyquist (valor máximo) será:

$$v_N=\pm \frac{\lambda PRF}{4}$$

En un radar meteorológico, la Transformada de Fourier en sus versiones discretas ( DFT/FFT) sirve para:

• Pasar del dominio temporal al dominio de las frecuencias.
• Obtener el espectro Doppler de cada celda de distancia.
• Estimar momentos espectrales: reflectividad, velocidad radial media, ancho espectral.
• Filtrar clutter producido por ecos terrestres y marinos.
• Implementar compresión de pulsos y filtros adaptados.
• Formar mapas distancia-Velocidad_Doppler.

En los radares operativos actuales, como los de la red NEXRAD de los EE.UU., el procesamiento suele ser híbrido. Se usa la DFT cuando el número de muestras no es potencia de dos (por ejemplo, cuando caen 14 disparos del transmiusor en una celda de de 1°, porque ofrece mejor resolución espectral. Y se usa la FFT cuando el número de muestras sí lo es (por ejemplo, cuando caen 32 disparos del transmisor en una celda angular de 1°), porque es computacionalmente mucho más eficiente. Procesadores como el RVP10 de Vaisala implementan ambos, decidiendo en tiempo real cuál aplicar según la estrategia de escaneo.

En algunos procesadores de señales (lo leí en documentación de SIGMET antes de ser Vaisala) cuando el número de muestras en una celda angular no es múltiplo de dos se pueden calcular dos FFT de la siguiente forma. Para mayor claridad tomemos un ejemplo en el cual la combinación de velocidad de giro de la antena y la frecuencia de repetición de los pulsos del transmisor nos conduce a tener 21 disparos del transmisor en una celda angular de 1°, entonces, el procesador toma las 16 primeras muestras y aplicando FFT obtiene la frecuencia media de ese pequeño espectro. A continuación toma las últimas 16 muestras, es decir de la sexta a la vigésimo primera y calcula FFT, obteniendo una segunda frecuencia media. Luego toma el promedio de las dos y es el valor que asigna a esa celda de 21 muestras en 1°.

En resumen: Fourier nos dio el lenguaje para hablar de frecuencias. La DFT lo digitalizó. La FFT lo hizo práctico. Y los radares meteorológicos lo usan cada segundo para decirnos a qué velocidad se mueve la lluvia.

¿Sabía mi docto lector que la FFT es uno de los algoritmos más influyentes del siglo XX?

Referencias

• Britannica, T. Editors of Encyclopaedia. (1998). Joseph Fourier | Biography & Facts. Encyclopedia Britannica.
• Bibliothèque nationale de France (BnF). (2011). La découverte de Fourier: « Même le feu est régi par les nombres ».
• Fourier, J. (1822). Théorie analytique de la chaleur. Paris: F. Didot père et fils.
• Heideman, M. T., Johnson, D. H., & Burrus, C. S. (1984). Gauss and the History of the Fast Fourier Transform. IEEE ASSP Magazine, 1(4), 14-21.
• Cooley, J. W., & Tukey, J. W. (1965). An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series. Mathematics of Computation, 19(90), 297-301.
• Rockmore, D. N., & Healy, D. M. (2004). The Cooley-Tukey FFT and Group Theory. In Modern Signal Processing (pp. 281-300). Cambridge University Press.
• Bracewell, R. N. (2000). The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.). McGraw-Hill.
• Oppenheim, A. V., & Schafer, R. W. (2010). Discrete-Time Signal Processing (3rd ed.). Pearson.
• Papoulis, A. (1962). The Fourier Integral and its Applications. McGraw-Hill.
• Doviak, R. J., & Zrnić, D. S. (1993). Doppler Radar and Weather Observations (2nd ed.). Academic Press.
• Bringi, V. N., & Chandrasekar, V. (2001). Polarimetric Doppler Weather Radar: Principles and Applications. Cambridge University Press.
• Vaisala. (s.f.). RVP10 Signal Processor [Documentación técnica]. Vaisala (anteriormente SIGMET).